一、数学悖论

1、假定“我说的这句话是假的”为真。既然此语句为真，但它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句是假的！如果“我说的这句话是假的”为假，它就必须是真的，所以它不可能是假的。这个悖论是本质性的，难以消除。

2、“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。

3、那么上面这句话是真话还是谎话？如果是真话，那么它应该是谎话；如果是谎话，那么它应该是真话！如论我们如何进行判断，最终终会终于谬误。

4、“说谎者悖论”有多种变化形式，下面的几个类似的悖论请同学们一起来试着理解：

5、讨论悖论是很有乐趣的，而且这些悖论中常常会包含某条非常重要的信息，通过这项娱乐我们会学到很多东西。例如：2磅=32盎司，0.5磅=8盎司，相乘得到1磅=256盎司！

6、拥有迷人内容的标题显然是荒谬可笑的！不过从下面的范例中你会看到，情况也许并非如此。我们从一个很容易被接受的等式开始：接下去的每一行都可以很容易地用初等代数来说明。代数方面没有任何错误。

7、概率论与数理统计(浙大版)

8、脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。

9、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。

10、最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

11、谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；

12、其实谬误型悖论在某种程度上说是出现了错误。

13、到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论(本质是反科学)，指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：

14、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

15、上面的这种说法是不正确的。但要解释清楚，却又觉得很难。这种看似这样，其实那样的数学问题(命题)，数学史把它们称作“数学悖论”。什么是悖论？从数学理论的角度讲，即从一些貌似正确或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论，这样的议论就称为悖论。悖论的起源几乎与数学史同步，却导致三次“数学基础危机”，使人们对数学产生怀疑，同时也从侧面促进了数学的发展。

16、在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施(约370B.C.—318B.C.)的“日方中方睨，物方生方死”、《庄子·天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。

17、这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

18、悖论是逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。比如大家熟知的《韩非子?难一》中记载的那位卖矛又卖盾的楚国人，声称他的矛锋利无比，什么样的盾都能刺穿，而他的盾坚韧异常，什么样的矛都刺不穿，人问：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人无言以对。这里关于矛和盾的论述就是一个悖论。悖论这个词在实际使用中，其涵义已被扩大化，常常包括与人的直觉、经验或客观事实相违背的种种问题或论述。因此有时也被称为“佯谬”、“怪论”等。

19、脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。

20、我们欠孩子真正的数学阅读(附推荐目录)

二、数学悖论与三次数学危机

1、在女儿高一家长会上的发言

2、解决挑战常识型悖论的方法是：放弃原来的假定。无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。

3、现在，将(1)式两边乘以我们就得到：

4、芝诺(约公元前490～前425)。芝诺以其悖论闻名，他一生曾巧妙地构想出40多个悖论，在流传下来的悖论中以关于运动的四个“无限微妙、无限深邃”的悖论最为著名。他提出这些悖论很可能是为他老师的哲学观点辩护。关老师总把“阿基里斯追龟悖论”挂在嘴边(小脚老太婆)，然而这四个悖论组合在一起有着奇妙的魅力。二分法悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。因为在进行

5、在古希腊时代，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯(约公元前6世纪)发现的“说谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的说谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的说谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺(约490B.C.—430B.C.)提出的有关运动的四个悖论(二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论)尤为著名，至今仍余波未息。

6、{…}是自然数集：

7、古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。

8、概述：体积有限的物体，表面积却可以无限。

9、罗素悖论的通俗解释：城市中的所有人，都在一位技艺高超的理发师那刮脸，这位理发师说到：“我只为本城市中，不给自己刮脸的人刮脸”！于是，其他人对理发师说：那么你给自己刮脸吗？

10、到今天，芝诺悖论仍然吸引着数学家和哲学家的强烈兴趣。他关于运动的悖论适用于任何一种距离。芝诺的悖论提出，在你跨过一个房间之前，你必须得穿过一半(1/2)的距离；但是在此之前，必须跨越这个一半距离的一半(1/4);在这之前，必须跨越这个距离的一半(1/8)，以此类推。由于跨越的任何距离都可以无限地被等分，所以任何物体永远也不可能4从一处运动到另一处。芝诺关于阿基里斯(Achilles)和乌龟的悖论讲的是赛跑时的情形，与上一个悖论稍有不同。假设阿基里斯与乌龟赛跑时，让乌龟在前。在阿基里斯追上乌龟之前，他必须首先到达乌龟的起点。但是由于乌龟在不断地沿着自己的起点向前移动，所以阿基里斯永远不能追上乌龟。

11、分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。

12、悖论读音为bèilùn，是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

13、在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。”意思是：如果你认为“所有的话都是错的”这句话是对的，那就错了，因为这句话本身就是对的。

14、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！

15、那么我们究竟是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。

16、这句话，乙同学能回答出来吗？

17、同济版高等数学(上)视频汇总

18、不管上帝怎么笑，我们还要一如既往地思考

19、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，但却突然想到：如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。同学们看他该不该给自己刮脸呢？

20、本文只想谈点轻松的话题。其实，许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅可以令你大开眼界，还可以从中享受到无尽的乐趣。面对形形色色富于思考性、趣味性、迷惑性的问题，你必须作一点智力准备，否则可能就会在这悖论迷宫中转不出来了。看看下面的几个小故事，你就会相信此话不假。

三、数学悖论大全

1、罗素悖论，号称数学大厦的裂缝。现在都没解决，只是绕开了。其他的什么白马黑马悖论，理发师悖论，其实都是罗素悖论的另一种说法而已。

2、我教霍尔果斯市莫乎尔的孩子们“学好数学三句话”(有视频)

3、三门问题，MontyHall问题

4、在“永恒的三角形”中，A表示选择货币政策独立性和资本自由流动，B表示选择固定汇率和资本自由流动，C表示选择货币政策的独立性和固定汇率。这三个目标之间不可调和，最多只能实现其中的两个。这就是著名的“三元悖论”。

5、这种事看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。这种现象科学家称之为“悖论”。今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。悖论还反映了严密数学科学并不是铁板一块，它的概念、原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉人们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。

6、除此之外，古今中外还有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考。解决悖论难题需要创造性的思维，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

7、这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？

8、在世界数学史当中，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。现代有光速悖论、双生子佯谬、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。悖论的历史很悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质，以下列举三个著名而有趣的数学悖论。

9、还有一个更令人信服的例子让我们要去禁止除以0，那就是向大家展示这会导致与一个已被接受的事实产生矛盾，这个事实就是。如果除以0被接受，那么就会得到，这显然是一个谬误。这是对的证明：

10、1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。

11、“我说的这句话是假的”。这个语句是真的还是假的？

12、现在给大家讲一个故事──当然这也是一个有趣的数学问题：阿溪里斯能追上乌龟吗？

13、讲座专为你而来你说你来不来

14、悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

15、马歇尔悖论就是马歇尔冲突。经济学家马歇尔经济理论中关于规模经济和垄断弊病之间的矛盾的观点

16、一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”

17、看了这部电影，你会更加懂得什么是伟大的老师——看《嗝嗝老师》有感

18、凭借高中所学知识足以理解

19、公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。

20、蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动。现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

四、数学悖论理发师

1、这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？

2、这个故事类似“自相矛盾”的故事。教徒是不可能回答出路人的问题的。如果回答“能”，说明石头厉害，上帝举不起来石头，但又与上帝无所不能矛盾；如果回答“不能”，也与上帝无所不能矛盾，教徒只能和卖矛和盾的人一样，“哑口无言”。

3、这是古希腊的一个故事：一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子，母亲苦苦哀求说：求求你放过我的孩子，你提什么要求我都答应。

4、芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”

5、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。

6、一位美国数学家来到一个赌场，随便叫住两个赌客，要教给他们一种既简单又挣钱的赌法。方法是，两个人把身上的钱都掏出采，数一数，谁的钱少就可以赢得钱多的人的全部钱。赌徒甲想，如果我身上的钱比对方多，我就会输掉这些钱，但是，如果对方的钱比我多，我就会赢得多于我带的钱数的钱，所以我赢的肯定要比输的多。而我俩带的钱谁多谁少是随机的，可能性是一半对一半，因此这种赌法对我有利，值得一试。赌徒乙的想法与甲不谋而合。于是两个人都愉快地接受了这位数学家的建议。看来这真是一种生财有道的赌博。

7、有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”

8、从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。

9、悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

10、同色马悖论(数学归纳法)

11、如何解释圣彼得堡悖论？知乎网

12、真实性悖论是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。

13、数学大家谈栏目丨专访数学研究专家沈明哲！

14、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。都会一门数学分支出现，所以在中学教育适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。可以讲讲根号2悖论，理发师悖论，无穷悖论。这些悖论学生基本上可以理解。这样可以活跃课堂教学效果

15、19：00—21：00

16、这句话的意思是说：如果说谎人说这句话，则表明他说的是真话；但如果承认他说的是真话，又与此人是“说谎人”相矛盾，于是或真或假，难以断定。

17、“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。

18、不过，如果我们用另一种方法对其进行分组，就会得到下式：

19、脑洞：理科生们笑到内伤。

20、这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。

五、数学悖论问题

1、三次数学危机与数学悖论.韩雪涛.人民邮电出版社

2、坚持原创，感谢你的关注、分享与鼓励

3、举例说明易懂：3人住店，要了1间房，每人10块钱，共30块钱，第二天，老板对服务生“说只收他们25”。给了服务生5块钱找给3人，服务生贪心，藏了2块钱，对3人说“老板只收你们27块钱”于是3人各省了1块钱。现在算算账：3人共出27块钱+服务生藏了2块钱=29块钱，还有1块钱却不见了！

4、一听不要紧听了还想听？？

5、△来源：数据与算法之美▼

6、在除以那一步中，我们实际上是在除以0，这是因为，所以。这最终使我们得出了一个荒谬的结果，从而令我们别无选择，只能禁止除以0。

7、还有大家十分熟悉的成语故事“自相矛盾”不也是一个道理吗？

8、既然是离散数学的悖论，那就按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0

9、特别策划丨“数学大家谈栏目”专访奥数教练李唯瑒(下)

10、这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。

11、考虑的商，其中。在不承认那条除以0的戒律的情况下，让我们推测(猜想)这个商可能等于什么。让我们假设它为p，可以通过乘法看它是否等于n来检验，因为这就是除法运算正确时应该得到的结果。因为，我们知道。因此，不管商p取什么值都不能使这道除法成立，所以我们规定禁止除以0。

12、同学们，这个虔诚的教徒能回答路人的提问吗？

13、没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：

14、缪不可言推荐的10本育儿书/图文

15、要“朗读”，不要“唱读”

16、如果不考虑收敛级数的概念，我们就会陷入以下困境。

17、数学悖论：http://baike.baidu.com/view/293html?wtp=tt

18、数学中的悖论或者谬误，常常都是因为违反某条数学规则或数学定律而导致的结果。这使得这些悖论成为说明这些规则的优秀载体，因为它们的违规导致了某些相当“奇异”的结果，比如说1=或1=0，简直荒谬！它们显然具有娱乐性，因为它们非常微妙地将我们引向了一个不可能的结论。通向这个怪异结果的每一步看起来似乎都是正确的，这个事实常常令我们倍感困惑。这相当具有激励作用，并且会使结论令人印象深刻得多。

19、我用“数手指”游戏为孩子“算命”

20、你能说出为什么这场考试无法进行吗？

六、数学悖论

1、我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？

2、一年级孩子的读题能力有多重要

3、孩子做数学题又慢又容易错？优化这7个细节最有效！

4、概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。

5、把(2)式带入(3)式，就有，从而。

6、鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！

7、孪生子悖论：“孪生子悖论”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得慢。

8、赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。

9、哪里可能出错了呢？再一次，当我们违反一条数学规则时，就出现了一个“谬误”这里我们定义a和b中至少有一个是非负数时，才成立。这就意味着按照进行计算的人错了。

10、接下来的这个悖论似乎更简单了。有人把它归入数学中对策论的研究范畴。

11、罗素悖论的出现，说明集合论本身是不完备的；直到1908年，数学家建立起了公理化系统，才让集合论从根本上避免了罗素悖论。

12、十大中国数学之最，你知道几个？

13、悖论的数学公式：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

14、这个悖论的关键在于：这里的两个单位没有得到恰当的处理，用下面这个例子可以给出最佳的回答：2英尺=24英寸，0.5英尺=6英寸，相乘得到1平方英尺=144平方英寸，即1英尺=12英寸。

15、带你一起学习高数，复习考研数学

16、试试背圆周率，听听弹奏圆周率

17、概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？

18、集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。

19、你的儿女其实不是你的，你要做的是这十点|视频

20、同样，这也是探究数学边界的一个良好资源。为什么不允许除以0？为什么根式的乘积并不总是等于乘积的根式？这只是众多悖论中的几个问题，揭示这些“滑稽”的结果很有乐趣，而且它们具有很高的研究价值。

1、在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

2、芝诺悖论是解决了，但第三次数学危机还没有完全度过。大家为了不让数学届出现混乱和骚动，只能暂时承认目前所有的定理公式都是正确的，这样人类才可以继续走下去！但实际上目前所得到的这些定理公式到底存不存在漏洞，谁也不能确定，就像第三次数学危机还没出现前，大家都认为所有的定理公式都是真理，但第三次数学危机出现后，大家都不知道该之前的定理公式还有多少是能被推翻的，还有多少是可信的！但又没有人有能力证明这些定理公式的真假程度，所以只能暂时搁浅了！所以说，第三次数学危机并没有完全度过！

3、讲座旨在激发西浦同学数学学习兴趣，引导进行兴趣导向型研究学习。普及数学知识，拓展数学视野。

4、这种事看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。这种现象科学家称之为“悖论”。今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。悖论还反映了严密数学科学并不是铁板一块，它的概念、原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉人们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。

5、提示：点击上方"52数学网"↑快速关注！

6、概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

7、世界上有记载的最早的悖论，是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的著名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子?天下篇》中，也记载了几条著名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼最大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论著作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。

8、你不能解决的七个很有意思的悖论.百度文库

9、脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。

10、概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数，4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。

11、电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”

12、上面说的都是什么鬼？？

13、如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

14、17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利(EvangelistaTorricelli)将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形(注：上图只显示了一部分图形)。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是π。

15、悖论的定义：表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

16、乙同学同样遭遇尴尬。如果回答“是”，也“不”矛盾；如果回答“不”，双重否定表示肯定，应该是“是”，还是与“不”矛盾。

17、无限长的金属杆：理想模型带来的悖论.matrixC博客

18、假设你现在面前有三扇门看起来完全一样，其中一扇门后面有一辆轿车，其余两扇门后面是一只羊，你从三扇门中选一扇。在门被打开之前，主持人——他知道哪扇门后面有车——会为你打开一扇后面有羊的门。现在，你有一次机会，要么坚持你之前的选择，要么改变主意选另一扇门。请不要忘记你的目标是猜中有车

19、脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。

20、这类本质型悖论是难以解决的。其解决难度远远超过了谬误型悖论和挑战常识型悖论。

1、同济版高等数学(下)视频汇总

2、研究和学习悖论的意义：

3、悖论并没所避逻辑问题逻辑框架内解决直吸引着奇研究并解决些问题例芝诺阿喀琉斯追乌龟仔细考虑发现极限问题始终纠结极限间内利用知识新颖发现另面悖论实际或者产程应用范围比较所直术或理论研究

4、离散数学的悖论，按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0